線性空間的維數
一、線性空間的維數
如果一個線性空間的基向量個數為n,這個線性空間維數就是n
二、拓撲空間 線性空間 有哪些區別
拓撲空間和線性空間的區別：拓撲空間是一個點的集合；線性空間是向量的集合。
拓撲空間的定義僅依賴于集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。其定義為：
設X是一個集合，O是一些X的子集構成的族，則(X，O)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：
1. 空集和X屬于O，
2.O中任意多個元素的并仍屬于O，
3.O中有限個元素的交仍屬于O。
這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set），則稱O是X上的一個拓撲。
線性空間又稱向量空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯系的向量空間概念。單變元實函數的集合在定義適當的運算后，也構成向量空間。
三、線性空間可以分幾類
公理化定義
編輯
設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V和兩個運算：
向量加法: V + V → V, 記作 v + w, ? v, w∈V
標量乘法: F × V → V, 記作 a·v, ?a∈F, v∈V
符合下列公理 (? a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
向量加法交換律：v + w = w + v；
向量加法的單位元：V 里有一個叫做零向量的 0，? v ∈ V , v + 0 = v；
向量加法的逆元素：?v∈V, ?w∈V，使得 v + w = 0；
標量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
標量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；
標量乘法一致于標量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
標量乘法有單位元: 1 v = v, 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。
有些教科書還強調以下兩個公理：
V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V
V 閉合在標量乘法下：a v ∈ V
更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間；若F是復數域C，V稱為復向量空間；若F是有限域，V稱為有限域向量空間；對一般域F，V稱為F-向量空間。[1]
首4個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，余下的4個公理應用于標量乘法。
以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性：
零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的
a 0 = 0，? a ∈ F
0 v = 0，? v ∈ V，這里 0 是F的加法單位元
a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0
v的加法逆元（公理4）是唯一的（寫成?v），這兩個寫法v ? w 及 v + (?w) 都是標準的
(?1)v = ?v，? v ∈ V
(?a)v = a(?v) = ?(av)，? a ∈ F ，? v ∈ V
線性無關
編輯
如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的系數c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多個向量v1, v2, ..., vn稱為線性相關的.
反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。
子空間
編輯
設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及標量乘法下是封閉的，且零向量0 ∈ W，就稱W為 V 的線性子空間。
給出一個向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作 span(B)。另外可以規定空集的擴張為{0}。[2]
給出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V， 則稱 B 為 V 的生成集合。
給出一個向量集合 B，若B是線性無關的，且B能夠生成V，就稱B為V的一個基。若 V={0}，唯一的基是空集。[3] 對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線性無關組。
如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的維度就是 n。
空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中向量的線性組合。而且，將基中向量進行排列，表示成有序基，每個向量便可以坐標系統來表示。
線性映射
編輯
若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定后，線性映射可以用矩陣來表達。
同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。
一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個范疇，即阿貝爾范疇。
額外結構
編輯
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或復數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。
一個實數或復數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）是個域代數。
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